Математичні ігри та зовсім головоломки

Математичні ігри та зовсім головоломки дуже популярні, як, втім, і всі гри. І аж ніяк який завжди складніша гра – цікавіша. Часто мільйони людей незгасним інтересом грають у найпростіші гри, що саме ці ігри найбільше цінують, і вони входить у історію математики усі прославляють своїх творців Найбільш наближеними до математики є головоломки, але є багато головоломок утворилося з колишніх (і деякі з ще існуючих) ігор. Більшість таких основних ігор прийняли придумано давньогрецькими математиками

Останнім часом математичним ігор увагу приділяється, переважно, перебування виграшних стратегій, потім сильно вплинуло поширення програмування: скласти алгоритм, яким у гру міг би грати комп'ютер, це часто буває складніший і цікавіше, ніж самому навчитися витрачати час на неї, у своїй глибше вникаєш в суть гри, після чого виграти у неї можеш вже будь-якого.

Ігри

Найпростіші математичні гри часто використовують як завдання, у яких потрібно знайти виграшну стратегію, або одна-єдина становище перекласти на інше. Іноді завдання бувають дуже простими, що вони вирішуються відомими методами, такі як інваріант і розфарбування, але є договір дуже прості, але досі неразрешённые завдання, пов'язані з математичними іграми

Прикладом може бути популярна гра хрестики-нулики на нескінченному полі (рендзю). Вона, як відомо, за правильної стратегії обох гравців нескінченна, але виграшну стратегію цьому ніхто не знає. Нині придумано безліч алгоритмів на цю гру, заснованих, передусім, на переборі різних варіантів і аналізі гри ми такі кілька ходів, які дуже близькі до виграшною стратегії, але тільки за її реалізації за комп'ютером – людина ж їх дотримуватися практично неможливо. Існують найпростіші прийоми на цю гру, якими сповна користуються гравці, але вирішальної найчастіше буває пильність

 

 

Гра них і інші аналогічні гри

Є кілька ігор, у яких двоє граючих A і B , керуючись певними правилами, почергово виймають ту чи іншу число фішок з одній або кількох купок – перемагає той, хто бере останню фішку. Найпростіша така гра – це гра з одного купкою фішок, і зробити хід" у ній – отже узяти з купки будь-яке число фішок від 1 до m включно. Багато такі ігри піддаються дослідженню з допомогою числа Шпрага-Гранди G(C) . Порожній позиції O , не що містить фішок, відповідає G(O)= 0. Комбинацию купок, які перебувають відповідно з x, y, … фішок, позначимо C=(x, y, …) і припустимо, що допустимі ходи переводять З до інших комбінації: D, E, … Тоді G(C) є найменше ненегативне число, не на G(D), G(E), … Це дозволяє по індукції визначити G(C) для будь-який комбінації З , разрешённой правил гри. Так було в згаданої завданню G(x)=x mod (m+1).

Якщо G(C)>0 , то гравець, робить наступний хід, скажімо, це гравець A , може забезпечити виграш, якщо вдасться можливість перейти до “безпечної” комбінації P.S з G(S)=0 . Справді, з визначення G(S) у разі або P.S – порожня позиція, і тоді A вже виграв, або B наступним ходом повинен можливість перейти до “небезпечної” позиції U з G(U)>0 – і тоді все повторюється знову. Така гра після кінцевого числа ходів закінчується перемогою A.

До таких ігор належить ним . Є довільне число купок фішок, і гравці почергово вибирають одну якусь купку і виймають з неї будь-яке число фішок (а хоча б одну обов'язково)

Більше загальний випадок представляє гра Мура , яку теж може бути k- ним. Правила її самі, що у звичайному ниме (1-ним), але тут дозволяється бать фішки із будь-якої кількості купок, не переважає k.

Ще одне аналогічне гра – Кегли . У ньому фішки розкладені до кількох, і кожному ході прибирається одна якась фішка чи дві сусідні. У цьому ряд може розбитися на два менших низки. Виграє той, хто візьме останню фішку. Обобщённая варіація на цю гру відома за ім'ям гри Витхоффа .

Є цікава варіація гри ним під назвою “зоряний ним” . Вона досить просте, але стратегія у ній видно не відразу. Грають у цю гру на зіркоподібною фігурі, изображённой на рис. 1, зліва. Поставте за однією фишке кожну з країн вершин зірки. Гравці A і B роблять ходи почергово, знімаючи при кожному ході або одну, або дві фішки, соединённые відрізком прямий. Той, хто знімає останню фішку виграє.

 

 

У гравця B при гру зоряний ним є виграшна стратегія, яка використовує симетрію ігровий дошки (взагалі, виграшні стратегії багатьох математичних ігор будуються у цьому). Уявімо, що відтинки прямих, що з'єднують вершини зірки, - це нитки. Тоді всю конфігурацію можна розгорнути в окружність, топологически еквівалентну нанизаний зірці. Якщо A знімає вини з окружності одну фішку, то B знімає дві фішки з протилежного ділянки окружності. Якщо A бере дві фішки, то B знімає вини з протилежного ділянки окружності одну фішку. У обох випадках на окружності залишаються дві групи із трьох фішок. Хоч би фішку (чи які б фішки) хто взяв A з однієї групи, B бере відповідну фішку (чи фішки) з іншої групи. Зрозуміло, що вона фішка дістанеться гравцю B.

Інші математичні гри

Наприкінці 1960-х років Дж. Леутуэйт з шотландського міста Терсо винайшов чудову гру з майстерно прихованої стратегією “парних ходів”, які забезпечують другому гравцю явний виграш. На дошці розміром 5*5 квадратних клітин на шаховому порядку розставлено 13 чорних та дванадцяти білих фішок, після чого з чорних фішок, наприклад, що стоїть центральному полі, знімається (рис. 2, зліва)

Гравець A ходить білими фішками, гравець B – чорними. Ходы робляться за вертикаллю і горизонталі. Проигравшим вважається той із гравців, хто першим зможе зробити черговий хід. Якщо дошку розфарбувати подібно шахівниці, зрозуміло, кожна фішка з його поля переходить на полі іншого кольору та що в жодну фішку не можна змусити ходити двічі. Отже, гра кожному за гравця неспроможна тривати більш 12 ходів. Але вони можуть закінчитися і зараз виграшем нічого для будь-якого гравця, за умови що B нічого очікувати дотримуватися раціональної стратегії.

 

 

Рациональная стратегія для гравця У у тому, щоб подумки уявити всю матрицю (крім порожній клітини), вкриту дванадцятьма неперекрывающимися кістками доміно. Як і вони розкладені на дошці, має значення. На рис. 2, справа показаний одне із способів покриття дошки кістками доміно. Який хід не зробив гравець А, У просто робить на певний ту кістку доміно, яку щойно залишив А. Під час такої стратегії у У є хід після чергового ходу Тож У явно виграє за 12 чи менше ходів.

У гру Леутуэйта можна буде гратися як фішками на дошці, а й квадратними плитками чи кубиками, передвигаемыми всередині пласкою коробочки, дно якої якої накреслена матриця. Припустимо тепер, що у правил гри внесено поправка, що дозволяє кожному гравцю у час ходити будь-яким числом (від 1 до запланованих 4) фішок, що стоять в одній горизонталі чи вертикалі, якщо перша і фішки у вибраній їм горизонталі чи вертикалі “його” кольору. Перед нами чудовий приклад того, як тривіальне (здавалося б) зміна правила призводить до різкого ускладнення аналізу гри. Леутуэйту зірвалася знайти виграшну стратегію ні на однієї з гравців у тому варіанті гри

Більшість ігор, розглянутих нами, мали виграшну стратегію, але ці означає, що в усіх таких ігор вони існують. Є чимало ігор, виграшну стратегію у яких нині не винайшли, а є багато і такі, які мають такою взагалі немає

Головоломки

Математичні головоломки бувають найрізноманітніші: обертальні (кубик Рубіка), “Чарівні кільця”, “Ігри з діркою” (п'ятнадцятки), решётчатые і ще. Ми розглянемо лише окремі з них

Вращательные головоломки

Вращательными називаються головоломки, доцільність яких залежить від поворотах рядів кубиків (але тільки кубиків), з яких вони складаються

Знаменитейшая головоломка сьогодення – кубик Рубіка – початку своє переможний хід світом з 1978 року, коли із нею вперше ознайомилися математики міжнародному математичному конгресі до Гельсінки. Лише кілька кубиків відвезли математики з конгресу, але ці стало початковим поштовхом лавинного поширення іграшки у світі

Практично кожний зібрати одну грань кубики Рубіка, але щоб скласти її майже повністю, найчастіше доводиться серйозно замислитися. Збираючи першу грань (чи перший шар), годі й піклуватися про інших, але залишається поміняти місцями протягом останніх кількох кубиків, дуже просто все зіпсувати і час розпочинати спочатку

Кубик Рубіка належить до обертальним головоломок, відмінністю якого є те, що заплутати їх дуже просто, тоді як також швидко збирати їх вміє далеко ще не кожен. При заплутуванні ми завжди діємо абияк і намагаємося зіпсувати відразу все, при складанні ж охопити відразу всю картину дуже складно, нам зручніше просуватися методично, крок по кроку, встановлюючи спочатку один шматочок, підганяючи щодо нього другого продажу та т. буд. Принаймні вибудовування правильної картини свобода наших дій обмежується, адже досягнуте треба наступних кроках зберігати. А ближче під кінець складання чергові просування вже неможливі без жертв, – змушені тимчасово віддавати завойоване про те, аби повернути його прибутково. Тут уже чітко потрібні спеціально розроблені операції, може бути їх “локальними” чи “мінімальними”, які у розташування елементів головоломки найменші зміни, наприклад, переставлять два-три елемента чи перевертають їх. У цьому “мінімальні” означає “маленькі” - зазвичай вони складаються з досить великої числа ходів

Розглянемо алгоритм збирання вращательных головоломок з прикладу кубики Рубіка

Формули операцій на “кубику Рубіка”

З використанням “мінімальних” операцій виникає природне запитання: як його систематизувати чи сформулювати, щоб ними зручно було користуватися під час збирання кубики. Насамперед, до того, як скористатися тій чи іншій вже розробленої операцією, слід якось позначити межі кубики, яких їх проводити. Стандартні знати їхні назви: фасад, тил, лево, право, гору, низ. А позначення відповідно: Ф, Т, Л, П, У, М. Будь-яку формулу операцій можна виконати з допомогою поворотів бічних чи центральних граней кубики. Один поворот межі по годинниковий стрілці позначається як і, як і самі грань (Ф, Т тощо. буд.). Якщо грань повертають проти годинниковий стрілки, чи до позначенню цього дії приписують знак ’ (Ф’, Т ’ тощо. буд.). Зрозуміло, що дві повороту по годинниковий стрілці ідентичні двом поворотам проти, отже позначаються вони однаково: знаком 2 . ( Ф 2 , Т 2 тощо. буд.). З допомогою цією системою позначень можна сформулювати лише повороти бічних граней, для центральних ж позначення показані малюнку 3.

 

 

Нижче приведён список самих поширених “мінімальних” операцій, якими сповна користуються під час збирання кубики Рубіка. Слід зазначити, що це лише універсальні комбінації, а створення досконалішого алгоритму збирання кубики, потрібно розробити більш “глобальні” операції, які людині запам'ятати досить складно, але загалом які зменшують кількість дій, необхідні збирання кубики з кожної конкретної становища

Перший шар

Операція “драбинка” (ліфт) 1:

М ’ П ’ НП

 

Операція “драбинка” (ліфт) 2:

НЛН ’ Л ’

Складна драбинка:

Н’П’Н 2 П

 

Другий шар

Дві драбинки 1:

НЛН’Л’Н’Ф’НФ

 

Дві драбинки 2:

Н’П’НПНФН’Ф’

 

Третій шар

Виконуються лише з дві комбінації з поворотом верхньої межі з-поміж них:

(ПСн) 4

Операція “Обмін” 1:

Ф 2 У ’ СпВ 2 СлВ ’ Ф 2

Операція “Обмін” 2:

Л’Т’П’ТЛТ’ПТ

 

 

(Ф ’ ПФП ’) 2

Дві останні операції виконуються лише парами, або за окремішності, але з двічі з можливим поворотом верхньої межі між комбінаціями

(ПФ ’ П ’ Ф) 2

 

“Ігри з діркою”

До винаходи кубики Рубіка багатьом людей ознайомлення з головоломками починався вже з “п'ятнашок” – нерідко називають відому гру “15”

З п'ятнашок починається історія ігор з діркою – головоломок, у яких фішки переміщаються по ігровому полю рахунок те, що одна з місць на полі вільно. У “п'ятнашок” є чимало родичів, що саме і утворюють цілий розділ цих головоломок

Гру “15” у 70-ті роки XIX -го століття прославлений американський винахідник головоломок Сэмюэль Лойд. Час появи його іграшки та відомого всім кубики Рубіка поділяють рівно років. Цікаво, що вік обох винахідників, що вони придумали свої знамениті головоломки, був однаковий – трохи більше тридцяти. До “п'ятнашок” жодна інша головоломка таким успіхом не користувалася.

Рубрики: Математика