Про комплексних числах

Запровадження комплексних чисел було з відкриттям рішення кубічного рівняння, тобто. ще 16 столітті. І на цього відкриття під час вирішення квадратного рівняння x 2 + + = px доводилося зіштовхуватися зі випадком, коли потрібно витягти квадратний корінь з ( p /2) 2 - q , де величина ( p /2) 2 була за, ніж q . Однак у цьому випадку укладали, що рівняння немає рішень. Про введення нових (комплексних) чисел тим часом (коли навіть негативні числа вважалися “хибними”) неможливо було і думки. Але у рішенні кубічного рівняння за правилом Тартальи виявилося, що дій над вдаваними числами не можна отримати дійсний корінь

Теорія комплексних чисел розвивалася повільно: ще 18 столітті найбільші математики світу сперечалися у тому, як знаходити логарифми комплексних чисел. Хоча допомогою комплексних чисел удалося одержати багато важливих фактів, які стосуються дійсним числам, але саме існування комплексних чисел багатьом здавалося сумнівним. Вичерпні правила дій зі комплексними числами дала і у 18-ти столітті російський академік Эйлер – одне із найбільших математиків всіх часів і народів. На межі 18 та19 століть було зазначено Весселем (Данія) і Арганом (Франція) геометричне зображення комплексних чисел. На роботи Весселя і Аргана не звернули увагу, і у 1831 р. коли той самий спосіб було розвинено великим математиком Гауссом (Німеччина), він став загальним надбанням

2.О комплексних числах

У зв'язку з розвитком алгебри знадобилося запровадити понад колись відомих позитивних і негативних чисел числа нового роду. Вони називаються комплексними

Комплексне число має вигляд a + bi ; тут a і b – справжні числа , а і – число нового роду, зване мнимої одиницею

“Мнимые” числа становлять приватний вид комплексних чисел(когда а = 0). З іншого боку, і справжні числа є приватним виглядом комплексних чисел (коли b = 0)

Справжнє число a назвемо абсциссой комплексного числа a + bi ; дійсне число b – ординатою комплексного числа a + bi . Основне властивість числа і у тому, що твір і * і одно –1, тобто

і 2 = -1. (1)

Тривалий час не вдавалося знайти такі фізичні величини, з яких можна виконувати дії, підлеглі тим самим правилам, як і дії над комплексними числами – зокрема правилу (1). Звідси назви: “мнима одиниця”, “нещире число” тощо. Нині відома ціла ряд таких фізичних величин, і комплексні числа широко застосовуються у математиці, але й у фізиці й техніці

Залишимо осторонь питання геометричному чи фізичному сенсі числа і , оскільки у різних галузях науки цей сенс різний

Правило кожного дії над комплексними числами виводиться з визначення цього дії. Але визначення дій над комплексними числами не вигадані довільно, а встановлено з такою розрахунком, щоб погодилися правила дій над речовими числами. Адже комплексні числа розглядати над відриві від дійсних, а що з ними

3 . Угоду про комплексних числах.

Справжнє число а записується й у вигляді a + 0 і (чи a – 0 і )

П р і м е р и. Запис 3 + 0 і позначає те, що поставив запис 3. Запис –2 + 0 і означає –2.

Комплексне число виду 0 + bi називається “суто мнимим”. Запис bi позначає те, що 0 + bi

Два комплексних a + bi , a ’ + b ’ і вважаються рівними, якщо в них відповідно рівні абсциссы і ординати, т. е. Якщо

a = a ’, b = b ’. Інакше комплексні числа нерівні. Цю ухвалу підказується наступним міркуванням. Якби могло існувати, скажімо, таке рівність:

2 + 5 і = 8 + 2 і , то правилам алгебри ми мали б і = 2, тоді як і на повинен бать дійсним числом

З а м е год а зв і е. Ми не визначили, що з л про ж е зв і е комплексних чисел. Тому, слід сказати, ми не у праві стверджувати, що кількість 2 + 5 і є сума чисел 2 і п'яти і . Точніше було сказати, що маємо є пара дійсних чисел: 2 (абсциса) і п'яти (ордината); ці числа породжують число нового роду, умовно позначуване 5 + 7 і

4.Сложение комплексних чисел

Про п р е буд е л е зв і е. Сумою комплексних чисел a + bi і a ’ + b ’ і називають комплексне число ( a + a ’) + ( b + b ’) і

Цю ухвалу підказується правилами дій зі звичайними многочленами

Приклад 1. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i

Приклад 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Оскільки запис 2 + 0 і означає те, як і 2 тощо. буд., то наповнений дію цілком узгоджується з звичайній арифметикою (2 + 7=9)

Приклад 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Приклад 4. (-2 + 3 і ) + ( - 2 – 3 і ) = - 4

У прикладі 4 сума двох комплексних чисел дорівнює дійсному числу. Два комплексних числа a + bi і a - bi називаються сполученими. Сума пов'язаних комплексних чисел дорівнює дійсному числу

З а м е год а зв і е. Тепер, коли дію складання визначено, право розглядати комплексне число a + bi як сукупність чисел a і bi . Так, число 2 і кількість 5 і у сумі дають число 2 + 5 і

5.Вычитание комплексних чисел.

Про п р е буд е л е зв і е. Разностью комплексних чисел a + bi (зменшуване) і a ’ + b ’ і (від'ємник) називається комплексне число ( a – a ’) + ( b – b ’) і

Приклад 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

Приклад 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

6.Умножение комплексних чисел.

Визначення множення комплексних чисел встановлюється з такою розрахунком, щоб 1) числа a + bi і a ’ + b ’ і можна було перемножать, як алгебраїчні двучлены, і щоб 2) число і мало властивістю і 2¬¬¬¬¬ = - 1. З огляду на вимоги 1) твір ( a + bi )( a ’ + b ’ і ) має рівнятися aa ’ + ( ab ’ + ba ’) і + bb ’ і 2¬¬¬ ¬ , а силу вимоги 2) цей вислів має рівнятися ( aa ’ – bb ’) + ( ab ’ + ba ’) і . Відповідно до цим встановлюється таке визначення

Про п р е буд е л е зв і е. Твором комплексних чисел a + bi і a ’ + b ’ і називається комплексне число

(aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i

З а м е год а зв і е 1. Рівність і 2¬¬¬¬¬ ¬ ¬¬ ¬ ¬¬ = -1 до встановленого правила множення комплексних чисел мало характер вимоги. Тепер він випливає з визначення. Адже запис і 2 ¬¬¬¬¬ ¬¬¬¬¬¬¬, т. е. і * і , рівнозначна записи (0 + 1* і )(0 + 1* і ). Тут a = 0, b = 1, a ’ = 0, b ’ = 1 Маємо aa ’ – bb ’ = -1, ab ’ + ba ’ = 0, отже твір є –1 + 0 і , т. е. –1.

З а м е год а зв і е 2. Насправді не доводиться користуватися формулою твори. Можна перемножити дані числа, як двучлены, та був покласти, що і 2¬¬¬¬ = -1

Приклад 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i 2 ¬ = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i

Приклад 2. (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2

Приклад 2 показує, що твір пов'язаних комплексних чисел є дійсне до того ж позитивне число

7. Розподіл комплексних чисел.

Відповідно до визначенням розподілу дійсних чисел встановлюється таке визначення

Про п р е буд їв е зв і е. Розділити комплексне число a + bi на комплексне число a ’ + b ’ і – отже знайти така кількість x + yi , яке, будучи помножені на дільник, дасть подільне

Якщо дільник не нульовий, то розподіл можливо, і приватне єдино ( доказ дивися в зауваженні 2). Насправді приватне найзручніше знаходити так

Приклад 1. Знайти приватне (7 – 4 і ) :( 3 + 2i)

Записавши дріб (7 – 4 і )/(3 + 2 і ), розширюємо її в число 3 – 2 і , пов'язана з 3 + 2 і . Одержимо:

((7 – 4 і )(3 - 2 і ))/((3 + 2 і )(3 – 2 і )) = (13 – 26 і )/13 = 1 – 2 і

Приклад 1 попереднього параграфа дає перевірку

Приклад 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i

Проступая, як і прикладах 1 і 2, знайдемо загальну формулу:

Щоб довести, що права частина справді є приватною, досить помножити її в a ’ + b ’. Одержимо a + bi

З а м е год а зв і е 1. Формулу (1) було б взяти за визначення розподілу

З а м е год а зв і е 2. Формулу (1) можна вивести ще так. Відповідно до визначення, ми повинен мати: ( a ’ + b ’ і )( x + yi ) = a + bi . Отже, повинні задовольнятися такі два рівняння:

a ’ x – b ’ y = a ; b ’ x + a ’ y = b

Цю систему має єдине рішення:

якщо a ’/ b ’ = - b ’/ a ’, т. е. якщо a ’ 2 + b ’ 2 = 0

Залишається розглянути випадок a ’ 2 + b ’ 2 = 0. Він можливий тільки тоді, коли a ’ = 0 і b ’ = 0, т. е. коли дільник a ’ + b ’ і нульовий. Якщо за цьому і подільне a + bi одно нулю, то приватне не визначено. Якщо ж подільне не одно нулю, то приватне немає (кажуть, що його одно нескінченності)

8. Модуль і аргумент комплексного числа

Довжина вектора, який зображує комплексне число, називається модулем цього комплексного числа. Модуль будь-якого комплексного числа, не рівного нулю, є позитивна число. Модуль комплексного числа a + bi позначається | a + bi |, і навіть буквою r . З креслення видно, що

r = | a + bi | = a 2 + b 2

Модуль дійсного числа збігаються з його абсолютним значенням. Сопряжённые комплексні числа a + bi u a – bi мають і той ж модуль

9. Геометрический сенс складання і вирахування

комплексних чисел.

Нехай вектори ОМ і ОМ’ зображують комплексні числа z = x + yi u z ’ = x ’ + y ’ і . З точки М проведемо вектор МК, рівний OM ’. Тоді вектор ОК зображує суму даних комплексних чисел

Збудований зазначеним чином вектор ОК називається геометричній сумою векторів ОМ і ОМ’

Отже, сума двох комплексних чисел представляється сумою векторів, що зображують окремі складові

Довжина боку ОК трикутника ОМК менше суми і більше різниці довжин ОМ і МК. Тому

|| z | - | z ’|| < | z + z ’| < | z | + | z ’|

Рівність має сенс тільки у випадках, коли вектори ОМ і ОМ’ мають однакові чи протилежні напрями. У першому випадку | OM | + | OM ’| = | OK |, т. е. | z + z ’|=| z | + + | z ’|. У другий випадок | z + z ’|=|| z | - | z ’||

10. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Абсцисса чи ордината b комплексного числа a + bi виражаються через модуль r і аргумент q . Формулами

a = r cos q; b = r sin q

Тому всяке комплексне комплексне число можна як r ( cos q + і sin q ), де r > 0

Цей вислів називається нормальної тригонометричної формою чи, коротше, тригонометричної формою комплексного числа.

Рубрики: Почала аналізу