Нарис з історії математики

Преемниками греків бачать у історії математики стали індійці. Індійські математики займалися доказами, але де вони запровадили оригінальні поняття і кілька ефективних методів. Саме вони вперше запровадили нуль як і кардинальне число, як і символ відсутності одиниць на відповідному розряді. Махавира (850 н.е.) встановив правила операцій із нулем, вважаючи, проте, що розподіл числа на нуль залишає число незмінним. Справився для випадку розподілу числа на нуль дали Бхаскарой (р. в 1114), ж належать правила дій над ірраціональними числами. Індійці запровадили поняття негативних чисел (для позначення боргів). Найстрашніше раннє їх використання ми бачимо у Брахмагупты (прибл. 630). Ариабхата (р. 476) пішов від Диофанта використання безперервних дробів під час вирішення невизначених рівнянь. Наша сучасну систему числення, джерело якої в позиційному принципі записи чисел і нуля як кардинального числа та використання позначення порожнього розряду, називається индо-арабской. На стіні храму, зведеного Індії прибл. 250 е., виявлено кілька цифр, нагадують за своїми обрисам наші сучасні цифри. Близько 800 індійська математика досягла Багдада. Термін “алгебра” походить від початку назви книжки Аль-джебр ва-л-мукабала ( Восполнение і протиставлення ), написаної 830 астрономом і математиком аль-Хорезми. У його творі він вшановував заслугах індійської математики. Алгебра аль-Хорезми грунтувалася на працях Брахмагупты, проте у ній виразно помітні вавилонське і грецьке впливу. Інший видатний арабський математик Ібн аль-Хайсам (прибл. 965–1039) розробив спосіб отримання алгебраїчних рішень квадратних і кубічних рівнянь. Арабські математики, серед них і Омар Хайям, вміли вирішувати деякі кубічні рівняння з допомогою геометричних методів, використовуючи конічні перерізу. Арабські астрономи запровадили тригонометрію поняття тангенса і котангенса. Насирэддин Туси (1201–1274) в Трактате про повну чотирикутнику систематично виклав пласку і сферичну геометрії й першим розглянув тригонометрію окремо від астрономії. І все-таки найважливішим внеском арабів в математику почали їх переклади і коментар до великих витворам греків. Європа познайомилася із цими роботами після завоювання арабами Північної Африки та Іспанії, а пізніше праці греків було переведено на латину. СЕРЕДНІ СТОЛІТТЯ І ВІДРОДЖЕННЯ Середньовічна Європа. Римська цивілізація не залишила помітного сліду у математиці, оскільки була занадто заклопотана рішенням практичних проблем. Цивілізація, що склалася у Європі раннього Середньовіччя (прибл. 400–1100), була продуктивної по прямо протилежної причини: інтелектуальне життя зосередилася майже на теології і потойбіччя. Рівень математичного знання не підіймався вище арифметики і найпростіших розділів з Почав Евкліда. Найважливішим розділом математики Середньовіччі вважалася астрологія; астрологів називали математиками. Позаяк медична практика грунтувалася переважно на астрологічних показаннях чи протипоказання, медикам й не залишалося нічого іншого, як можна стати математиками. Близько 1100 в західноєвропейської математиці почався майже тривіковий період освоєння збереженого арабами і візантійськими греками спадщини Стародавнього світу та Сходу. Оскільки араби володіли майже усіма працями античних греків, Європа отримала велику математичну літературу. Переклад цих праць на латину сприяв підйому математичних досліджень. Всі великі вчені на той час визнавали, що черпали натхнення в працях греків. Першим гідною згадки європейським математиком став Леонардо Пизанский (Фібоначчі). У його творі Книжка абака (1202) він познайомив європейців з индо-арабскими цифрами і методами обчислень, ні з арабської алгеброю. Протягом наступних кількох століть математична активність у Європі ослабла. Звід математичних знань тієї епохи, складений Лукою Пачолі в 1494, не містив будь-яких алгебраїчних нововведень, яких були у Леонардо. Відродження. Серед кращих геометрів епохи Відродження були художники, развившие ідею перспективи, яка вимагала геометрії зі сходящимися паралельними прямими. Художник Леон Баттиста Альберти (1404–1472) ввів поняття проекції і перерізу. Прямолинейные промені світла від очі спостерігача до різних точок зображуваної сцени утворюють проекцію; перетин виходить під час проходження площині через проекцію. Щоб намальована картина виглядала реалістичної, вони мали бути такою перерізом. Поняття проекції і перерізу породжували суто математичні питання. Наприклад, якими загальними геометричними властивостями мають перетин і вихідна сцена, які властивості двох різних перетинів одному й тому ж проекції, освічених двома різними площинами, що перетинають проекцію під різними кутами? З таких запитань і виникла проективна геометрія. Її засновник – Ж.Дезарг (1593–1662) з допомогою доказів, заснованих на виключно проекції і сечении, уніфікував підхід до різним типам конічних перетинів, які великий грецький геометр Аполлоний розглядав окремо. ПОЧАТОК СУЧАСНІЙ МАТЕМАТИКИ Наступ 16 в. у Європі ознаменувалося важливими досягненнями в алгебри та арифметиці. Було введено в звернення десяткові дробу і правил арифметичних дій зі ними. Справжнім тріумфом стало винахід в 1614 логарифмів Дж.Непером. Наприкінці 17 в. остаточно склалося розуміння логарифмів як показників ступеня із кожним позитивним числом, відмінними від одиниці, як підставу. З початку 16 в. ширше стали вживатися ірраціональні числа. Б.Паскаль (1623–1662) і И.Барроу (1630–1677), вчитель І.Ньютона у Кембриджському університеті, стверджували, що така кількість, як , можна трактувати лише як геометричну величину. Однак у ті роки Р.Декарт (1596–1650) і Дж.Валлис (1616–1703) вважали, що ірраціональні числа припустимі й які самі собою, без посилань на геометрію. У 16 в. тривали суперечки щодо законності запровадження негативних чисел. Ще менш прийнятними вважалися виникаючі під час вирішення квадратних рівнянь комплексні числа, такі як , названі Декартом “вдаваними”. Ці числа були під підозрою навіть у 18 в., хоча Л.Эйлер (1707–1783) успішно користувався ними. Комплексні числа остаточно визнали лише на початку 19 в., коли математики обвикнулися зі своїми геометричних поданням. Досягнення в алгебрі. У 16 в. італійські математики Н.Тарталья (1499–1577), С.Даль Ферро (1465–1526), Л.Феррари (1522–1565) і Д.Кардано (1501–1576) знайшли спільні рішення рівнянь третьої та четвертої ступенів. Аби зробити алгебраїчні міркування та його запис точнішими, було запроваджено безліч символів, зокрема +, –, ґ , , =, > і <. Найсерйознішим нововведенням стало систематичне використання французьким математиком Ф.Виетом (1540–1603) літер для позначення невідомих і постійних величин. Це нововведення дозволило їй знайти єдиний метод рішення рівнянь другий, третьої та четвертої ступенів. Потім математики звернулися до рівнянням, ступеня яких перевищує четвертої. Працюючи над цією проблемою, Кардано, Декарт і И.Ньютон (1643–1727) опублікували (без доказів) ряд результатів, що стосуються числа і виду коренів рівняння. Ньютон відкрив співвідношення між корінням і дискриминантом [ b 2 – 4 ac ] квадратного рівняння, саме, що рівняння ax 2 + bx + з = 0 має рівні справжні, різні справжні чи комплексно поєднані коріння у залежності від того, було б дискриминант b 2 – 4 ac нульовий, більшою або меншою нуля. У 1799 К.Фридрих Гаусс (1777–1855) довів т.зв. основну теорему алгебри: кожен багаточлен n -і ступеня має n коренів. Основне завдання алгебри – пошук загального сценічного рішення алгебраїчних рівнянь – продовжувала займати математиків і на початку 19 в. Коли говорять про загальному рішенні рівняння другого ступеня ax 2 + bx + з = 0, мають на увазі, що з його коренів може бути виражений з допомогою кінцевого числа операцій складання, вирахування, множення, ділення клітин і вилучення коренів, вироблених над коефіцієнтами a , b і з . Молодий норвезький математик Н.Абель (1802–1829) довів, що організувати неможливо отримати рішення рівняння ступеня вище 4 з допомогою кінцевого числа алгебраїчних операцій. Проте є багато рівнянь спеціального виду ступеня вище 4, припускають таке рішення. Напередодні загибелі на дуелі юний французький математик Э.Галуа (1811–1832) дав вирішальний на запитання у тому, які рівняння можна розв'язати в радикалів, тобто. коріння яких рівнянь можна сформулювати через їх коефіцієнти в допомогою кінцевого числа алгебраїчних операцій. Теоретично Галуа використовувалися підстановки чи перестановки коренів і це уведено поняття групи, яке знайшло широке застосування в багатьох областях математики. Розвиток теорії груп слугує гарним прикладом наступності творчої праці у математиці. Галуа побудував свою теорію, спираючись працювати Абеля, Абель спирався працювати Ж.Лагранжа (1736–1813). Натомість багато видатні математики, зокрема Гаусс і А.Лежандр (1752–1833) у своїх працях неявно використовували поняття групи. Ньютон ні надмірно скромний, заявивши: “Якщо бачив найдалі, лише через те, який стояв обов'язок гігантів”. Аналітична геометрія. Аналітична, чи координатна, геометрія було створено незалежно П.Ферма (1601–1665) і Р.Декартом у тому, щоб розширити можливості евклідовій геометрії в завданнях на побудова. Проте Ферма розглядав свої роботи лише як переформулювання твори Аполлония. Справжнє відкриття – усвідомлення всієї потужності алгебраїчних методів – належить Декарту. Евклидова геометрична алгебра кожному за побудови вимагала винаходи свого оригінального методу і могла запропонувати кількісну інформацію, необхідну науці. Декарт вирішила цю проблему: він формулював геометричні завдання алгебраїчно, вирішував алгебраїчне рівняння і потім будував дані рішення – відрізок, мав відповідну довжину. Власне аналітична геометрія виникла, коли Декарт почав розглядати невизначені завдання на побудова, рішеннями якого є жодна, а безліч можливих довжин. Аналітична геометрія використовує алгебраїчні рівняння до подання і дослідження кривих і поверхонь. Декарт вважав прийнятною криву, що можна записати з допомогою єдиного алгебраического рівняння щодо x і в . Такий підхід важливим поступом вперед, оскільки він як увімкнув у число допустимих такі криві, як конхоида і циссоида, але й істотно розширив область кривих. У результаті 17–18 ст. багато нових важливих кривих, як-от циклоїда і ланцюгова лінія, увійшли до науковий обіг. Очевидно, першим математиком, який скористався рівняннями як доказ властивостей конічних перетинів, був Дж.Валлис. До 1865 він алгебраїчним шляхом отримав усі результати, представлені у V книзі Почав Евкліда. Аналітична геометрія повністю змінила ролями геометрію і алгебру. Як зазначив великий французький математик Лагранж, “поки алгебра і геометрія рухалися кожна своєю шляхом, їх прогрес був повільним, а докладання обмеженими. Та ці науки об'єднали свої зусилля, вони запозичили друг в одного нові життєві сили та відтоді швидкими кроками попрямували до досконалості”. Математичний аналіз. Засновники сучасної науки – Коперник, Кеплер, Галілей і Ньютон – підходили до дослідження природи як математики. Досліджуючи рух, математики виробили таке фундаментальне поняття, як функція, чи ставлення між перемінними, наприклад d = kt 2 , де d – відстань, пройдене вільно падаючим тілом, а t – число секунд, яке тіло перебуває у вільному падінні. Поняття функції відразу ж потрапляє стало центральним у визначенні швидкістю цей час часу й прискорення рушійної тіла. Математична труднощі цієї проблеми в тому, що у будь-яку момент тіло проходить нульовий відстань за нульової проміжок часу. Тому визначаючи значення швидкістю час розподілом шляху тимчасово, ми то дійдемо математично безтямному вираженню 0/0. Завдання ухвали і обчислення миттєвих швидкостей зміни різних величин привертала увагу майже всіх математиків 17 в., включаючи Барроу, Ферма, Декарта і Валлиса. Запропоновані ними розрізнені ідеї, й методи об'єднувалися в систематичний, універсально який можна застосовувати формальний метод Ньютоном і Г.Лейбницем (1646–1716), творцями диференціального обчислення. Стосовно пріоритеті з розробки цього обчислення з-поміж них велися палкі суперечки, причому Ньютон звинувачував Лейбніца в плагіаті. Проте, як показали дослідження істориків науки, Ляйбніц створив математичний аналіз незалежно від Ньютона. Через війну конфлікту обмін ідеями між математиками континентальної Європи - й Англії довгі роки виявився перерваним з збитком англійської боку. Англійські математики продовжували розвивати ідеї аналізу, у геометричному напрямі, тоді як математики континентальної Європи, зокрема И.Бернулли (1667–1748), Эйлер і Лагранж досягли незрівнянно бльших успіхів, слідуючи алгебраическому, чи аналітичного, підходу. Основою всього математичного аналізу є поняття краю. Швидкість в останній момент часу окреслюється межа, якого прагне середня швидкість d / t , коли значення t усе ближче наближається до нулю. Дифференциальное літочислення дає зручний в обчисленнях загальний метод перебування швидкості зміни функції f ( x ) незалежно від значенні x . Ця швидкість отримав назву похідною. З спільності записи f ( x ) видно, що правове поняття похідною застосовно у завданнях, викликаних необхідністю знайти швидкість чи прискорення, а й у відношення до будь-який функціональної залежності, наприклад, до якомусь співвідношенню з економічної теорії. Однією з основних додатків диференціального обчислення є т.зв. завдання на максимум і мінімум; інший важливий коло завдань – перебування дотичній до цієї кривою. Виявилося, що з допомогою похідною, спеціально винайденому для робіт з завданнями руху, можна також ознайомитися знаходити площі й обсяги, обмежені відповідно кривими і поверхнями. Методи евклідовій геометрії не мали належної спільністю і дозволяли отримувати необхідні кількісні результати. Зусиллями математиків 17 в. було створено численні приватні методи, дозволяли знаходити площі постатей, обмежених кривими тієї чи іншої виду, й у окремих випадках відзначено зв'язок з завдань з завданнями на перебування швидкості зміни функцій. Але, як у разі диференціального обчислення, саме Ньютон і Ляйбніц усвідомили спільність методу і тим самим заклали основи інтегрального обчислення. Метод Ньютона – Лейбніца починається із заміни кривою, яка обмежує площа, яку потрібно визначити, яка наближається до ній послідовністю ламаних, аналогічна тій, як це робилося в винайденому греками методі исчерпывания. Точна площа дорівнює межі суми площ n прямокутників, коли n звертається до нескінченність. Ньютон показав, що ця межа можна знайти, звертаючи процес перебування швидкості зміни функції. Операція, зворотна диференціюванню, називається інтегруванням. Твердження у тому, що підсумовування можна здійснити, звертаючи диференціювання, називають основною теоремою математичного аналізу. Приблизно так, як диференціювання можна застосувати до значно більше широкому класу завдань, ніж пошук швидкостей і прискорень, інтегрування можна застосувати до будь-який завданню, що з підсумовуванням, наприклад, фізичних завданням на складання сил

Рубрики: Математика