Записи в рубрике 'Математика'

Енріко Фермі

Після відкриття штучної радіоактивності роботи з її дослідженню й отримання нових ізотопів розгорнулися широким фронтом. Найбільш плідними у цьому напрямі виявилися досліди Енріко Фермі (1901-1954) . "Великий італійський фізик Еге. Фермі, писав Бруно Понтекорво, посідає особливе місце серед сучасних учених: нашого часу, коли вузька спеціалізація у наукових дослідженнях стала типовою, важко вказати так само універсального фізика, який був Фермі. Можна навіть сказати, що на наукової арені XX в. людини, що вніс зміни такий величезний внесок у розвиток теоретичної й експериментальної фізики, астрономії та програмах технічної фізики, - явище скоріш унікальне, ніж рідкісне. " Фермі народився 29 вересня 1901 року у Римі, у ній службовця. У Енріко дуже рано проявилися великі здатність до точних наук, зокрема до фізики та математиці

Нарис з історії математики

Преемниками греків бачать у історії математики стали індійці. Індійські математики займалися доказами, але де вони запровадили оригінальні поняття і кілька ефективних методів. Саме вони вперше запровадили нуль як і кардинальне число, як і символ відсутності одиниць на відповідному розряді. Махавира (850 н.е.) встановив правила операцій із нулем, вважаючи, проте, що розподіл числа на нуль залишає число незмінним. Справився для випадку розподілу числа на нуль дали Бхаскарой (р. в 1114), ж належать правила дій над ірраціональними числами. Індійці запровадили поняття негативних чисел (для позначення боргів). Найстрашніше раннє їх використання ми бачимо у Брахмагупты (прибл. 630). Ариабхата (р. 476) пішов від Диофанта використання безперервних дробів під час вирішення невизначених рівнянь. Наша сучасну систему числення, джерело якої в позиційному принципі записи чисел і нуля як кардинального числа та використання позначення порожнього розряду, називається индо-арабской. На стіні храму, зведеного Індії прибл. 250 е., виявлено кілька цифр, нагадують за своїми обрисам наші сучасні цифри. Близько 800 індійська математика досягла Багдада. Термін “алгебра” походить від початку назви книжки Аль-джебр ва-л-мукабала ( Восполнение і протиставлення ), написаної 830 астрономом і математиком аль-Хорезми. У його творі він вшановував заслугах індійської математики. Алгебра аль-Хорезми грунтувалася на працях Брахмагупты, проте у ній виразно помітні вавилонське і грецьке впливу. Інший видатний арабський математик Ібн аль-Хайсам (прибл. 965–1039) розробив спосіб отримання алгебраїчних рішень квадратних і кубічних рівнянь. Арабські математики, серед них і Омар Хайям, вміли вирішувати деякі кубічні рівняння з допомогою геометричних методів, використовуючи конічні перерізу. Арабські астрономи запровадили тригонометрію поняття тангенса і котангенса. Насирэддин Туси (1201–1274) в Трактате про повну чотирикутнику систематично виклав пласку і сферичну геометрії й першим розглянув тригонометрію окремо від астрономії. І все-таки найважливішим внеском арабів в математику почали їх переклади і коментар до великих витворам греків. Європа познайомилася із цими роботами після завоювання арабами Північної Африки та Іспанії, а пізніше праці греків було переведено на латину. СЕРЕДНІ СТОЛІТТЯ І ВІДРОДЖЕННЯ Середньовічна Європа. Римська цивілізація не залишила помітного сліду у математиці, оскільки була занадто заклопотана рішенням практичних проблем. Цивілізація, що склалася у Європі раннього Середньовіччя (прибл. 400–1100), була продуктивної по прямо протилежної причини: інтелектуальне життя зосередилася майже на теології і потойбіччя. Рівень математичного знання не підіймався вище арифметики і найпростіших розділів з Почав Евкліда. Найважливішим розділом математики Середньовіччі вважалася астрологія; астрологів називали математиками. Позаяк медична практика грунтувалася переважно на астрологічних показаннях чи протипоказання, медикам й не залишалося нічого іншого, як можна стати математиками. Близько 1100 в західноєвропейської математиці почався майже тривіковий період освоєння збереженого арабами і візантійськими греками спадщини Стародавнього світу та Сходу. Оскільки араби володіли майже усіма працями античних греків, Європа отримала велику математичну літературу. Переклад цих праць на латину сприяв підйому математичних досліджень. Всі великі вчені на той час визнавали, що черпали натхнення в працях греків. Першим гідною згадки європейським математиком став Леонардо Пизанский (Фібоначчі). У його творі Книжка абака (1202) він познайомив європейців з индо-арабскими цифрами і методами обчислень, ні з арабської алгеброю. Протягом наступних кількох століть математична активність у Європі ослабла. Звід математичних знань тієї епохи, складений Лукою Пачолі в 1494, не містив будь-яких алгебраїчних нововведень, яких були у Леонардо. Відродження. Серед кращих геометрів епохи Відродження були художники, развившие ідею перспективи, яка вимагала геометрії зі сходящимися паралельними прямими. Художник Леон Баттиста Альберти (1404–1472) ввів поняття проекції і перерізу. Прямолинейные промені світла від очі спостерігача до різних точок зображуваної сцени утворюють проекцію; перетин виходить під час проходження площині через проекцію. Щоб намальована картина виглядала реалістичної, вони мали бути такою перерізом. Поняття проекції і перерізу породжували суто математичні питання. Наприклад, якими загальними геометричними властивостями мають перетин і вихідна сцена, які властивості двох різних перетинів одному й тому ж проекції, освічених двома різними площинами, що перетинають проекцію під різними кутами? З таких запитань і виникла проективна геометрія. Її засновник – Ж.Дезарг (1593–1662) з допомогою доказів, заснованих на виключно проекції і сечении, уніфікував підхід до різним типам конічних перетинів, які великий грецький геометр Аполлоний розглядав окремо. ПОЧАТОК СУЧАСНІЙ МАТЕМАТИКИ Наступ 16 в. у Європі ознаменувалося важливими досягненнями в алгебри та арифметиці. Було введено в звернення десяткові дробу і правил арифметичних дій зі ними. Справжнім тріумфом стало винахід в 1614 логарифмів Дж.Непером. Наприкінці 17 в. остаточно склалося розуміння логарифмів як показників ступеня із кожним позитивним числом, відмінними від одиниці, як підставу. З початку 16 в. ширше стали вживатися ірраціональні числа. Б.Паскаль (1623–1662) і И.Барроу (1630–1677), вчитель І.Ньютона у Кембриджському університеті, стверджували, що така кількість, як , можна трактувати лише як геометричну величину. Однак у ті роки Р.Декарт (1596–1650) і Дж.Валлис (1616–1703) вважали, що ірраціональні числа припустимі й які самі собою, без посилань на геометрію. У 16 в. тривали суперечки щодо законності запровадження негативних чисел. Ще менш прийнятними вважалися виникаючі під час вирішення квадратних рівнянь комплексні числа, такі як , названі Декартом “вдаваними”. Ці числа були під підозрою навіть у 18 в., хоча Л.Эйлер (1707–1783) успішно користувався ними. Комплексні числа остаточно визнали лише на початку 19 в., коли математики обвикнулися зі своїми геометричних поданням. Досягнення в алгебрі. У 16 в. італійські математики Н.Тарталья (1499–1577), С.Даль Ферро (1465–1526), Л.Феррари (1522–1565) і Д.Кардано (1501–1576) знайшли спільні рішення рівнянь третьої та четвертої ступенів. Аби зробити алгебраїчні міркування та його запис точнішими, було запроваджено безліч символів, зокрема +, –, ґ , , =, > і <. Найсерйознішим нововведенням стало систематичне використання французьким математиком Ф.Виетом (1540–1603) літер для позначення невідомих і постійних величин. Це нововведення дозволило їй знайти єдиний метод рішення рівнянь другий, третьої та четвертої ступенів. Потім математики звернулися до рівнянням, ступеня яких перевищує четвертої. Працюючи над цією проблемою, Кардано, Декарт і И.Ньютон (1643–1727) опублікували (без доказів) ряд результатів, що стосуються числа і виду коренів рівняння. Ньютон відкрив співвідношення між корінням і дискриминантом [ b 2 – 4 ac ] квадратного рівняння, саме, що рівняння ax 2 + bx + з = 0 має рівні справжні, різні справжні чи комплексно поєднані коріння у залежності від того, було б дискриминант b 2 – 4 ac нульовий, більшою або меншою нуля. У 1799 К.Фридрих Гаусс (1777–1855) довів т.зв. основну теорему алгебри: кожен багаточлен n -і ступеня має n коренів. Основне завдання алгебри – пошук загального сценічного рішення алгебраїчних рівнянь – продовжувала займати математиків і на початку 19 в. Коли говорять про загальному рішенні рівняння другого ступеня ax 2 + bx + з = 0, мають на увазі, що з його коренів може бути виражений з допомогою кінцевого числа операцій складання, вирахування, множення, ділення клітин і вилучення коренів, вироблених над коефіцієнтами a , b і з . Молодий норвезький математик Н.Абель (1802–1829) довів, що організувати неможливо отримати рішення рівняння ступеня вище 4 з допомогою кінцевого числа алгебраїчних операцій. Проте є багато рівнянь спеціального виду ступеня вище 4, припускають таке рішення. Напередодні загибелі на дуелі юний французький математик Э.Галуа (1811–1832) дав вирішальний на запитання у тому, які рівняння можна розв'язати в радикалів, тобто. коріння яких рівнянь можна сформулювати через їх коефіцієнти в допомогою кінцевого числа алгебраїчних операцій. Теоретично Галуа використовувалися підстановки чи перестановки коренів і це уведено поняття групи, яке знайшло широке застосування в багатьох областях математики. Розвиток теорії груп слугує гарним прикладом наступності творчої праці у математиці. Галуа побудував свою теорію, спираючись працювати Абеля, Абель спирався працювати Ж.Лагранжа (1736–1813). Натомість багато видатні математики, зокрема Гаусс і А.Лежандр (1752–1833) у своїх працях неявно використовували поняття групи. Ньютон ні надмірно скромний, заявивши: “Якщо бачив найдалі, лише через те, який стояв обов'язок гігантів”. Аналітична геометрія. Аналітична, чи координатна, геометрія було створено незалежно П.Ферма (1601–1665) і Р.Декартом у тому, щоб розширити можливості евклідовій геометрії в завданнях на побудова. Проте Ферма розглядав свої роботи лише як переформулювання твори Аполлония. Справжнє відкриття – усвідомлення всієї потужності алгебраїчних методів – належить Декарту. Евклидова геометрична алгебра кожному за побудови вимагала винаходи свого оригінального методу і могла запропонувати кількісну інформацію, необхідну науці. Декарт вирішила цю проблему: він формулював геометричні завдання алгебраїчно, вирішував алгебраїчне рівняння і потім будував дані рішення – відрізок, мав відповідну довжину. Власне аналітична геометрія виникла, коли Декарт почав розглядати невизначені завдання на побудова, рішеннями якого є жодна, а безліч можливих довжин. Аналітична геометрія використовує алгебраїчні рівняння до подання і дослідження кривих і поверхонь. Декарт вважав прийнятною криву, що можна записати з допомогою єдиного алгебраического рівняння щодо x і в . Такий підхід важливим поступом вперед, оскільки він як увімкнув у число допустимих такі криві, як конхоида і циссоида, але й істотно розширив область кривих. У результаті 17–18 ст. багато нових важливих кривих, як-от циклоїда і ланцюгова лінія, увійшли до науковий обіг. Очевидно, першим математиком, який скористався рівняннями як доказ властивостей конічних перетинів, був Дж.Валлис. До 1865 він алгебраїчним шляхом отримав усі результати, представлені у V книзі Почав Евкліда. Аналітична геометрія повністю змінила ролями геометрію і алгебру. Як зазначив великий французький математик Лагранж, “поки алгебра і геометрія рухалися кожна своєю шляхом, їх прогрес був повільним, а докладання обмеженими. Та ці науки об'єднали свої зусилля, вони запозичили друг в одного нові життєві сили та відтоді швидкими кроками попрямували до досконалості”. Математичний аналіз. Засновники сучасної науки – Коперник, Кеплер, Галілей і Ньютон – підходили до дослідження природи як математики. Досліджуючи рух, математики виробили таке фундаментальне поняття, як функція, чи ставлення між перемінними, наприклад d = kt 2 , де d – відстань, пройдене вільно падаючим тілом, а t – число секунд, яке тіло перебуває у вільному падінні. Поняття функції відразу ж потрапляє стало центральним у визначенні швидкістю цей час часу й прискорення рушійної тіла. Математична труднощі цієї проблеми в тому, що у будь-яку момент тіло проходить нульовий відстань за нульової проміжок часу. Тому визначаючи значення швидкістю час розподілом шляху тимчасово, ми то дійдемо математично безтямному вираженню 0/0. Завдання ухвали і обчислення миттєвих швидкостей зміни різних величин привертала увагу майже всіх математиків 17 в., включаючи Барроу, Ферма, Декарта і Валлиса. Запропоновані ними розрізнені ідеї, й методи об'єднувалися в систематичний, універсально який можна застосовувати формальний метод Ньютоном і Г.Лейбницем (1646–1716), творцями диференціального обчислення. Стосовно пріоритеті з розробки цього обчислення з-поміж них велися палкі суперечки, причому Ньютон звинувачував Лейбніца в плагіаті. Проте, як показали дослідження істориків науки, Ляйбніц створив математичний аналіз незалежно від Ньютона. Через війну конфлікту обмін ідеями між математиками континентальної Європи - й Англії довгі роки виявився перерваним з збитком англійської боку. Англійські математики продовжували розвивати ідеї аналізу, у геометричному напрямі, тоді як математики континентальної Європи, зокрема И.Бернулли (1667–1748), Эйлер і Лагранж досягли незрівнянно бльших успіхів, слідуючи алгебраическому, чи аналітичного, підходу. Основою всього математичного аналізу є поняття краю. Швидкість в останній момент часу окреслюється межа, якого прагне середня швидкість d / t , коли значення t усе ближче наближається до нулю. Дифференциальное літочислення дає зручний в обчисленнях загальний метод перебування швидкості зміни функції f ( x ) незалежно від значенні x . Ця швидкість отримав назву похідною. З спільності записи f ( x ) видно, що правове поняття похідною застосовно у завданнях, викликаних необхідністю знайти швидкість чи прискорення, а й у відношення до будь-який функціональної залежності, наприклад, до якомусь співвідношенню з економічної теорії. Однією з основних додатків диференціального обчислення є т.зв. завдання на максимум і мінімум; інший важливий коло завдань – перебування дотичній до цієї кривою. Виявилося, що з допомогою похідною, спеціально винайденому для робіт з завданнями руху, можна також ознайомитися знаходити площі й обсяги, обмежені відповідно кривими і поверхнями. Методи евклідовій геометрії не мали належної спільністю і дозволяли отримувати необхідні кількісні результати. Зусиллями математиків 17 в. було створено численні приватні методи, дозволяли знаходити площі постатей, обмежених кривими тієї чи іншої виду, й у окремих випадках відзначено зв'язок з завдань з завданнями на перебування швидкості зміни функцій. Але, як у разі диференціального обчислення, саме Ньютон і Ляйбніц усвідомили спільність методу і тим самим заклали основи інтегрального обчислення. Метод Ньютона – Лейбніца починається із заміни кривою, яка обмежує площа, яку потрібно визначити, яка наближається до ній послідовністю ламаних, аналогічна тій, як це робилося в винайденому греками методі исчерпывания. Точна площа дорівнює межі суми площ n прямокутників, коли n звертається до нескінченність. Ньютон показав, що ця межа можна знайти, звертаючи процес перебування швидкості зміни функції. Операція, зворотна диференціюванню, називається інтегруванням. Твердження у тому, що підсумовування можна здійснити, звертаючи диференціювання, називають основною теоремою математичного аналізу. Приблизно так, як диференціювання можна застосувати до значно більше широкому класу завдань, ніж пошук швидкостей і прискорень, інтегрування можна застосувати до будь-який завданню, що з підсумовуванням, наприклад, фізичних завданням на складання сил. СУЧАСНА МАТЕМАТИКА Створення диференціального і інтегрального числень ознаменувало початок “вищої математики”. Методи математичного аналізу, на відміну поняття краю, лежачого у його основі, виглядали ясними і зрозумілими. Багато років математики, зокрема Ньютон і Ляйбніц, марно намагалися дати точне визначення поняття краю. І все-таки, попри численні сумніви щодо обгрунтованості математичного аналізу, він вважав дедалі ширше застосування. Дифференциальное і інтегральне обчислення стали наріжними каменями математичного аналізу, що згодом прикрасило і ті предмети, як теорія диференційних рівнянь, звичайних і із приватними похідними, безкінечні ряди, варіаційне літочислення, диференційна геометрія й багато іншого. Суворе визначення краю вдалося лише о 19-й в. Неевклидова геометрія. До 1800 математика базувалася двома “китах” – на числової системи та евклідовій геометрії. Оскільки багато властивостей числової системи доказывались геометрично, евклидова геометрія була найнадійнішою частиною будинку математики. Проте аксіома про паралельних містила твердження про прямих, котрі простираються у нескінченність, якої могла бути підтверджено досвідом. Навіть версія цієї аксіоми, що належить самому Евклиду, зовсім не від стверджує, якісь прямі не перетнуться. У ньому скоріш формулюється умова, у якому вони перетнуться у певній кінцевої точки. Столетиями математики шукали аксіомі про паралельних відповідну підходящу заміну. Однак у кожного варіанта неодмінно опинявся який-небудь прогалину. Честь створення неевклідової геометрії випала Н.И.Лобачевскому (1792–1856) і Я.Бойяи (1802–1860), кожен із яких незалежно опублікував свій власний оригінальне виклад неевклідової геометрії. У тому геометриях через цю точку можна було провести нескінченно багато паралельних прямих. У геометрії Б.Римана (1826–1866) через точку поза прямий не можна провести жодної паралельної. Про фізичних додатках неевклідової геометрії ніхто вже серйозно не думав. Створення А.Ейнштейном (1879–1955) загальної теорії відносності в 1915 пробудило науковий світ усвідомлення реальності неевклідової геометрії. Неевклидова геометрія стала найбільш вражаючим інтелектуальним здійсненням 19 в. Вона ясно продемонструвала, що математику не можна більш розглядати, як звід незаперечних істин. У разі математика може гарантувати достовірність докази з урахуванням недостовірних аксіом. Зате математики надалі здобули свободу досліджувати будь-які ідеї, які можуть видатися їм привабливими. Кожен математик окремо був тепер вільний впроваджувати власні власні нові поняття та викладачу встановлювати аксіоми на власний розсуд, стежачи лише над тим, щоб що виникають з аксіом теореми не суперечили одна одній. Грандіозне розширення кола математичних досліджень наприкінці уже минулого століття сутнісно стало наслідком нової свободи. Математична строгість. Приблизно до 1870 математики перебували переконанні, що діють за визначенням античних греків, застосовуючи дедуктивні міркування до математичним аксіомам, цим забезпечуючи своїми висновками не меншу надійність, ніж те, якої мали аксіоми. Неевклидова геометрія і кватернионы (алгебра, у виконується властивість коммутативности) змусили математиків усвідомити, що той, що вони приймали за абстрактні і логічно несуперечливі затвердження, насправді грунтується на емпіричному і прагматичний базисі. Створення неевклідової геометрії супроводжувалося також усвідомленням існування в евклідовій геометрії логічних прогалин. Однією з недоліків евклидовых Почав було використання допущень, не сформульованих вочевидь. Очевидно, Евклид не брав під сумнів ті властивості, якими мали його геометричні фігури, але це властивості були включені у його аксіоми. З іншого боку, стверджуючи подобу двох трикутників, Евклид скористався накладенням одного трикутника в інший, неявно припускаючи, що, рухаючись властивості постатей не змінюються. Але, крім таких логічних прогалин, в Началах виявилося і кілька хибних доказів. Створення нових алгебр, що з квартернионов, породило аналогічні й щодо логічного обгрунтованості арифметики і алгебри звичайній числової системи. Усі раніше відомі математикам числа мали властивістю коммутативности, тобто. ab = ba . Кватернионы, які здійснили переворот в традиційних уявленнях про числах, відкрили 1843 У.Гамильтоном (1805–1865). Вони були корисними на вирішення цілого ряду фізичних і геометричних проблем, хоча до кватернионов не виконувалося властивість коммутативности. Квартернионы змусили математиків усвідомити, що й не вважати присвяченій цілим числам і віддаленої від ідеалу частини евклидовых Почав , арифметика і алгебра немає власної аксіоматичній основи. Математики вільно поводилася з негативними і комплексними числами і митців справляли алгебраїчні операції, керуючись тільки тим, що вони успішно працюють. Логічний строгість поступилося місцем демонстрації практичної користі запровадження сумнівних понять і процедур. Майже від зародження математичного аналізу вже були спроби підвести під нього суворі підстави. Математичний аналіз ввів дві нові складних поняття – похідна і певний інтеграл. Ці поняттями билися Ньютон і Ляйбніц, і навіть математики наступних поколінь, які диференціальний і інтегральне обчислення в математичний аналіз. Проте, попри всі зусилля, з поняттями краю, безперервності і дифференцируемости залишалося багато незрозумілого. З іншого боку, з'ясувалося, що властивості алгебраїчних функцій не можна перенести всі інші функції. Майже всі математики 18 в. і міст початку 19 в. робили зусилля, щоб знайти сувору основу для математичного аналізу, й вони зазнали невдачі. Нарешті, в 1821, О.Коши (1789–1857), використовуючи поняття числа, підвів сувору базу під весь математичний аналіз. Однак пізніше математики виявили в Коші логічні прогалини. Бажана строгість була нарешті досягнуто в 1859 К.Вейерштрассом (1815–1897). Вейерштрасс спочатку вважав властивості дійсних і комплексних чисел самоочевидними. Пізніше він, як і Г.Кантор (1845–1918) і Р.Дедекинд (1831–1916), усвідомив необхідність побудови теорії ірраціональних чисел. Вони дали коректне визначення ірраціональних чисел і встановили їх властивості, проте властивості раціональних чисел як і вважали самоочевидними. Нарешті, логічна структура теорії дійсних і комплексних чисел придбала свій завершений вигляд на роботах Дедекинда і Дж.Пеано (1858–1932). Створення підстав числової системи дозволило також вирішити проблеми обгрунтування алгебри. Завдання посилення суворості формулювань евклідовій геометрії була порівняно простий і полягала в переліченню визначених термінів, уточненню визначень, запровадження саме ті аксіом і заповненню прогалин доводити. Це завдання виконав 1899 Д.Гильберт (1862–1943). Майже до того ж час було закладено й організаційні основи інших геометрий. Гільберт сформулював концепцію формальної аксіоматики. Один із особливостей запропонованого нею підходу – трактування невизначених термінів: під ними можна розуміти будь-які об'єкти, задовольняють аксіомам. Наслідком цього особливості стала зростаюча абстрактність сучасної математики. Евклидова і неевклідова геометрії описують фізичне простір. Однак у топології, що є узагальненням геометрії, невизначуваний термін “точка” то, можливо вільний від геометричних асоціацій. Для тополога точкою то, можливо функція чи послідовність чисел, як і щось інше. Абстрактне простір є безліччю таких “точок” Аксиоматический метод Гільберта ввійшов майже в усі розділи математики 20 в. Проте невдовзі зрозуміли, що цьому методу притаманні певні обмеження. У 1880-х Кантор спробував систематично класифікувати нескінченні безлічі (наприклад, безліч всіх раціональних чисел, безліч дійсних чисел тощо.) шляхом їх порівняльної кількісної оцінки, приписуючи їм т.зв. трансфинитные числа. Заодно він знайшов у теорії множин протиріччя. Отже, до початку 20 в. математикам довелося поводитися з проблемою її вирішення, ні з інші проблеми підстав їх науки, такі як неявний використання т.зв. аксіоми вибору. І все-таки ніщо були зрівнятися з руйнівним впливом теореми неповноти К.Гёделя (1906–1978). Ця теорема стверджує, будь-яка несуперечлива формальна система, досить багата, щоб утримувати теорію чисел, обов'язково містить нерозв'язне пропозицію, тобто. твердження, яке неможливе ні довести, ані заперечити у її рамках. Тепер загальновизнано, що абсолютного докази на математиці немає. Щодо те, що таке доказ, думки різняться. Проте оскільки більшість математиків схильне думати, що проблеми підстав математики є філософськими. І це дійсно, жодна теорема не змінилася внаслідок знову знайдених логічно суворих структур; це свідчить, що у основі математики лежить не логіка, а здорова інтуїція. Якщо математику, відому до 1600, можна охарактеризувати як елементарну, то порівнянню про те, що було створене пізніше, ця елементарна математика нескінченно мала. Розширилися старі області й з'явилися нові, як чисті, і прикладні галузі математичних знань. Виходять близько 500 математичних журналів. Дуже багато публікованих результатів Демшевського не дозволяє навіть фахівцю ознайомитися з усім, що відбувається у тій галузі, де він працює, а у тому, що чимало результати доступні розумінню лише спеціаліста вузького профілю. Жоден математик не може сподіватися знати більше, що відбувається у дуже маленькому куточку науки. ЛІТЕРАТУРА Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Давнього Єгипту, Вавилона і спорту Греції . М., 1959 Юшкевич О.П. Історія математики середньовіччі . М., 1961 Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Шляхи і лабіринти. Нариси з історії математики . М., 1986 Клейн Ф. Лекції про розвиток математики ХІХ столітті . М., 1989

ІСТОРІЯ МАТЕМАТИКИ

Самій древньої математичної діяльністю був рахунок. Рахунок було необхідний, щоб ознайомитися з поголів'ям худоби і вестиме торгівлю. Деякі первісні племена підраховували кількість предметів, зіставляючи їм різні частини тіла, переважно пальці рук і ніг. Наскальный малюнок, що зберігся до відома наших часів від кам'яного віку, зображує число 35 як серії не вибудованих у ряд 35 палочек-пальцев. Першими суттєвими успіхами в арифметиці стали концептуалізація числа і винахід чотирьох основних дій: складання, вирахування, множення і розподілу. Перші досягнення геометрії пов'язані з цими простими поняттями, як пряма і окружність. Подальший розвиток математики почалося приблизно 3000 е. завдяки вавилоняни і єгиптянам.

Історичний порівняння евклідовій геометрії з його сучасниками

У цьому рефераті вашій увазі буде подано історичне порівняння евклідовій геометрії з його сучасниками. Разработавших з урахуванням критики його геометрії, досконаліші свої теорії у сфері геометрії. Інформація звучатимуть як стислого огляду діяльності видатних математиків. Евклид його книжка “Почала” (планіметрія і стереометрія), була багато століть змістом шкільного курсу геометрії, і дала привід до створення нових теорій у сфері геометрії. Слід зазначити, що геометри протягом двох років, ставлячись як до “Началам” Евкліда з великою повагою, піддавали їх критиці, відзначали ті чи інші дефекти і рекомендували способи “очищення Евкліда від плям”, в такій критиці народжувалися нові й напрацювання у сфері геометрії, про це також представлять матеріал в рефераті.

Закон виключеного третього

Сутність закону: два суперечать виключеного судження і також час й у тому ж відношенні, неможливо знайти разом істинними чи хибними. Одне - необхідно істинно, а інше - брехливо; третього не може. Записується: чи а, чи не-а.

Зміст і специфіка основних законів логіки

У логічних законах виражені суттєві, сталі й необхідні риси внутрішньої структури розумового процесу, яка історично склалася з урахуванням об'єктивних властивостей і стосунків природного світу. Саме тому самі закони логіки носять об'єктивного характеру. Тому що неспроможні на власний розсуд змінювати чи "диктувати" нові логічні закони. Закони логіки сприймаються, мов аксіома - істина, яка потребує докази. Маючи характером загальності у сфері мислення, цих законів є обов'язковими з погляду їх дотримання у всіх галузях наукового знання і набутий будь-якому рівні пізнавального процесу. Природно, що самих логічних законів недостатньо, щоб забезпечити істинність наших суджень, умовиводів. Закони логіки становлять важливий і обов'язковий той час у системі умов, визначальних істинність наших думок. Логічний правильність і стрункість мислення необхідні, але недостатні для об'єктивної істинності вивідного знання. Звідси випливає таке становище: закони формальної логіки не можна абсолютизувати, де вони поширюються зовнішній світ; їх застосування обмежена сферою мислення, які дію правомірно тільки у межах логічного форми, а чи не змісту думки

Аспекти булевой алгебри

У цьому рефераті я спробую розкрити, деякі аспекти булевой алгебри. Математична логіка є сучасної формою, так званої формальної логіки, яка застосовує математичні методи на дослідження свого предмета. (Інші її назви: символічна логіка, теоретична логіка, логістика.) У формальної логіки і, в математичної логіці, зібрані результати законів структури правильних висновків. Висновок є розумовим процесом, у результаті якого з'являються нові відкриття виходячи з вже наявних (які передбачаються правильними), без практичних досліджень. Насправді, нове відкриття, отриманий у результаті виведення, (так званий остаточне виведення) у прихованій формі перебуває у попередньо наявних знаннях, в про передумови

Математичні ігри та зовсім головоломки

Математичні ігри та зовсім головоломки дуже популярні, як, втім, і всі гри. І аж ніяк який завжди складніша гра – цікавіша. Часто мільйони людей незгасним інтересом грають у найпростіші гри, що саме ці ігри найбільше цінують, і вони входить у історію математики усі прославляють своїх творців Найбільш наближеними до математики є головоломки, але є багато головоломок утворилося з колишніх (і деякі з ще існуючих) ігор. Більшість таких основних ігор прийняли придумано давньогрецькими математиками