Записи в рубрике 'Почала аналізу'

Про оцінку згори числа наведених невизначених

Основоположником теорії квадратичных форм є французький математик Лагранж. Їм було доведено кінцівку числа класів бінарних квадратичных форм заданого дискриминанта. Починається арифметична теорія квадратичных форм із твердження Ферма про існування простих чисел сумою двох квадратів. Теорія квадратичных форм продовжувала розвиватися. Гаусс також вводить багато новопонять. Гауссу зумів одержати докази важких і глибоких теорем теорії чисел

Математичного моделювання

Математичного моделювання є найважливішим виглядом формалізованого знакового моделювання. Моделювання здійснюється з допомогою мови математики логіки. Модель – це близьке опис аналізованого класу явищ, виражене з допомогою математичної символіки. Математичні методи, засновані на математичному моделюванні, дедалі ширше застосовують у промислово-економічних дослідженнях, зокрема, в операційних дослідженнях. Особливо застосовуються математичні моделі черг та управління запасами

Делимость багаточленів

Припустимо p = певний багаточлен над k і . Значением багаточлена p у точці a називається елемент поля k, рівний . Він позначається p(a) є гомоморфизмом Ядро цього гомоморфизма складається з всіх багаточленів, котрим p(a) = 0, тобто a був частиною їхнього коренем. Якщо | p , то a називається коренем кратності не нижче n. Введем поняття похідною багаточлена p. За визначенням це багаточлен . Трапляються звичайні правила обчислення похідною. Зокрема, якщо p ( a ) = 0, але , то корінь a - простий (тобто не кратний). наявність в багаточлена кореня a кратності не нижче n тягне наявність в його похідною тієї самої кореня кратності не нижче ( n -1)

МНОЖЕСТВА З ДВОМА АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ОПЕРАЦИЯМИ КОЛЬЦА І ПОЛЯ

Припустимо, що є безліч R , у якому розташовані дві алгебраїчні операції складання і множення. Вважають, що множення уміє правої дистрибутивности стосовно додаванню: І, відповідно складання уміє лівої дистрибутивности стосовно множенні. Якщо ж операція множення коммутативна, тоді дані властивості рівнозначні. Застосовуючи властивості дистрибутивности, розуміємо двосторонню дистрибутивность. Припустимо, операція складання на безлічі R має нейтральний елемент, тобто. 0.

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУПИ

Група G називається циклічною, якби її елементи є ступенями одного елемента g. Елемент g називається що створює циклічною групи G Циклічні групи може бути як кінцевими, і нескінченними Приклади : Група Z цілих чисел з операцією складання. Група всі комплексні коренів ступеня n з одиниці з операцією множення. Оскільки , група є циклічною і елемент g= -утворює

Полиномы Чебишева

Припустимо, задана функція y ( x ), це, будь-якому допустимому значенням x зіставлять значення у. Але часом виявляється, що швидко знайти це значення дуже важко. Наприклад, у( x ) можна визначити як вирішення складного завдання, у якій x ж виконує функцію параметра або в( x ) вимірюється в дорогому експерименті. І тут можна визначити невелику таблицю значень функції, але пряме перебування цієї функції при великому числі значень аргументу буде практично неможливо. Функція у( x ) може існувати у яких-небудь физико¬-технических чи математичних расчётах, де її потрібно буде багаторазово вираховуватимуть. У цій ситуації зручно замінити функцію у( x ) приближённой формулою, тобто підібрати деяку функцію j ( x ), яка наближається у сенсі до у( x ) і обчислюється. Потім за всіх значеннях аргументу думати, що з( x ) » j ( x ) Більшість класичного чисельного аналізу полягає в наближенні многочленами, позаяк із ними легше працювати. Проте більшості цілей використовуються інші класи функцій Вибравши значимі крапки й клас які наближують функцій, слід ще вибрати одну певну функцію з класу у вигляді якогось критерію — деякою заходи наближення чи «рівності». Поки розпочати обчислення, ми вирішувати також, яку точність потрібно відповідальним є також який критерій ми вибираємо для виміру цієї точності Все викладене вище можна сформулювати як чотирьох питань: Які значимі точки ми будемо використовувати? Який клас які наближують функцій буде нами використаний? Який критерій согласия-«равенства» ми застосуємо? Яка точність нам необхідна? Існують групи функцій, які широко застосовуваних чисельній аналізі. Перша група включає у собі лінійні комбінації функцій 1, x , x 2 , …, x n , що збігаються з класом всіх багаточленів ступеня n (менше). Другий клас - включає у собі функції cos a і x , sin a і x . Цей клас має безпосередній стосунок до рядів Фур'є і интегралу Фур'є. Третю групу освічена функціями e - az . Ці функції часто зустрічаються у реальних ситуаціях, до них, наприклад, часто наводять завдання накопичення та розпаду Що ж до критерію згоди чи «рівності», то класичним критерієм згоди є «точне збіг у соціально значущих - вузлових точках». Цей критерій має перевагами простоти теорії та виконання обчислень, але також має незручність через ігнорування шуму (похибки, виникає виміру атмосферного явища чи обчисленні значень у соціально значущих (вузлових) точках). Інший досить хороший критерій — є «найменші квадрати». Це означає, сума квадратів відхилень в вузлових точках мусить бути найменшої можливої чи, інакше кажучи, приведено до мінімуму. Цей критерій використовує неточну інформацію, щоб отримати найменше шуму. Третій критерій безпосередньо пов'язаний з ім'ям Чебишева. Основна ідея його у цьому, аби навести максимальне відхилення до мінімуму. Звісно, може бути можливі й інші критерії Більше точно вирішити поставлені нами четверо запитань можна лише з умов і цілі кожного завдання окремо Интерполяция многочленами Мета завдання наближення (інтерполяції): цю функцію у( x ) необхідно приблизно замінити деякою функцією j ( x ), властивості якої ми знаємо те щоб відхилення в заданої Одеській області було мінімальним. Интерполяционные формули застосовуються, насамперед, при заміні графічно заданої функції аналітичної, і навіть для інтерполяції в таблицях Методи інтерполяції Лагранжа і Ньютона Одне з підходів до завданню інтерполяції — метод Лагранжа. Ідея цього в тому, щоб у перший чергу знайти багаточлен, котра приймає значення 1 лише у вузловий точці, й 0 в інших. Легко помітні, що функція є потрібним многочленом ступеня n , що дорівнює 1, якщо x = x j і 0, коли x = x і , і ? j . Многочлен L j ( x ) ? y j приймає значення y і в і - і вузловий точці, й дорівнює 0 у всіх інших вузлах. З чого слід, що є багаточлен ступеня n , проходить через n +1 точку ( x і , y і ) Інший підхід — метод Ньютона (метод розділених разностей). Цим методом можна отримати роботу аппроксимирующие значення функції без побудови вочевидь аппроксимирующего полинома. У результаті отримуємо формулу для полинома P n , аппроксимирующую функцію f ( x ): P(x)=P(x 0 )+(x-x 0 )P(x 0 ,x 1 )+(x-x 0 )(x-x 1 )P(x 0 ,x 1 ,x 2 )+…+ (x-x 0 )(x-x 1 )…(x- x n )P(x 0 ,x 1 ,…, x n ); — разделённая різницю 1-го порядку; — разделённая різницю 2-го порядку й т.д Значення P n ( x ) в вузлах збігаються зі значеннями f ( x ) Фактично формули Лагранжа і Ньютона породжують і той ж поліном, різниця є лише у алгоритмі його побудови Сплайн-аппроксимация Ще один метод апроксимації — сплайн-аппроксимация — відрізняється від полиномиальной апроксимації Лагранжем і Ньютоном. Сплайном називається функція, що із кількома похідними безупинна на відрізку [ a , b ], але в кожному приватному інтервалі цього відрізка [ x і , x і +1 ] окремо є деяким многочленом невисокою ступеня. Нині використовують кубічний сплайн, цебто в кожному локальному інтервалі функція наближається до полиному третього порядку. Труднощі такий апроксимації пов'язані з низьким рівнем полинома, тому сплайн погано апроксимується з великою першої похідною. Сплайновая інтерполяція може нагадувати лагранжевую тим, що потребує лише значення вузлах, але з її похідних Метод найменших квадратів Припустимо, що потрібно замінити деяку величину та робиться n вимірів, результати яких рівні x і = x + e і ( і =1, 2, …, n ), де e і — це помилки (чи шум) вимірів, а x — справжнє значення. Метод найменших квадратів стверджує, що найкраще приближённое значення є така кількість, котрій мінімальна сума квадратів відхилень від : Одне з найчастіших випадку застосування цього у тому, що наявні n спостережень ( x і , y і ) ( і =1, 2, …, n ) потрібно наблизити многочленом ступеня m < n y(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+ a m x m Вычисленная крива у( x ) у сенсі створює складне безліч значень у і . Метод найменших квадратів стверджує, що можна вибирати багаточлен, який наводить функцію до мінімуму ? Для перебування мінімуму диференціюємо ? перспективами кожного із невідомих a k . Через війну одержимо: Визначник цією системою різниться від нуля і завдання має єдине рішення. Але система ступенів не ортогональна, і за великих значеннях n завдання погано обумовлена. Цю труднощі можна обминути, використовуючи багаточлени ортогональные з заданим вагою на заданої системі точок, але вдаються лише у завданнях, що з особливо ретельної статичної обробкою експерименту Полиномы Чебишева Критерії згоди цього методу — мінімізація максимальної помилки Полиномы Чебишева визначаються так: T n ( x )= cos ( n ? arccos ( x )) Наприклад: T 0 ( x )= cos (0)=1, T 1 ( x )= cos ( q )= x , T 2 (x)= cos (2 q )=cos 2 ( q )-sin 2 ( q )=2x 2 -1 Можна було і далі використовувати тригонометрические співвідношення перебування полиномов Чебишева будь-якого порядку, буде краще встановити них рекурентное співвідношення, що пов'язує T n +1 ( x ), T n ( x ) і T n -1 ( x ): T n+1 (x)= cos (n q + q )= cos (n q ) cos ( q )-sin(n q )sin( q ), T n-1 (x)= cos (n q - q )= cos (n q ) cos ( q )-sin(n q )sin( q ) Складывая ці нерівності, одержимо: T n +1 ( x )+ T n -1 ( x )=2 cos ( n q ) cos ( q )=2 xT n ( x ); T n+1 (x)=2xT n (x)-T n-1 (x) Рис. 1 Застосовуючи отримані формули можна знайти будь-який поліном Чебишева. Наприклад, Т 3 ( x )=2 xT 2 ( x )- T 1 ( x ). Підставляючи значення T 2 ( x ) і Т 1 ( x ) маємо Т 3 ( x )=2х(2х 2 -1)-х=4х 3 -3х. Графічно перші 10 полиномов Чебишева зображені нижче. Наступні полиномы як і коливаються між +1 і -1, причому період коливання зменшуються зі зростанням порядку полинома Перетворення q = arccos ( x ) можна розгледіти як проекцію перетинань півкола з безліччю прямих, мають кути рівні між собою (мал.1). Отже, безліч точок x j , у якому система чебышевских багаточленів T n ( x ) ортогональна, є: , ( j =0, 1, 2, …, N -1) Оскільки T n ( x ) є, сутнісно, cos ( n q ), всі вони є равноколеблющимися функціями, й, оскільки вони багаточлени, то мають усіма властивостями, які мають ортогональные багаточлени Чебышев довів, що із усіх багаточленів Р n ( x ) ступеня n старшим коефіцієнтом 1, у багаточлена точна верхня грань абсолютних значень на інтервалі -1 ? x ? 1 найменша. Оскільки верхня грань T n ( x )=1, зазначена верхня грань дорівнює Практичне завдання Насправді слід було вивчити наближення нашої функції полиномами Тейлора Як згадувалося, багаточлени Тейлора легко обчислюються, а як і перетворюються на статечні ряди. У цьому вся ми змогли переконається практично Нижче приведено таблиця коефіцієнтів перших дванадцяти полиномов Чебишева, і навіть таблиця коефіцієнтів перед полиномами Чебишева, які виражають перші дванадцять ступенів x Ці дані ми маємо, використовуючи програми зі сторінок У цих програмах було використано такі алгоритми: Перетворення коефіцієнтів полинома Чебишева в коефіцієнти традиційного багаточлена Вводимо коефіцієнти a 0 , a 1 , …, a n багаточлена T ( x ) і утворюємо масив a і Для j =2, 3, …, n і k = n , n -1, …, j у разі піднімаючись, тоді як у другому спускаючись, здійснюємо перетворення коефіцієнтів за такими формулам: а ) a k-1 =a k-2 -a k б ) a k =2a k У результаті дістаємо коефіцієнти полинома P n ( x ) Перетворення коефіцієнтів полинома P n ( x ) в коефіцієнти полинома T n ( x ) Вводимо коефіцієнти полинома P n ( x ) — а і Для j = n , n -1, …, 2 і k = j , j +1, …, n у разі спускаючись, тоді як у другому піднімаючись, проводимо перетворення коефіцієнтів за такими формулам: а ) a k =a k /2 б ) a k-2 =a k-2 +a k з) a 0 =2 a 0 У результаті дістаємо коефіцієнти полинома Т n ( x ). Цікаво було б упізнати, яку помилку ми маємо при розкладанні статечної функції полиномам Чебишева. І тому, використовуючи вище описані алгоритми, спочатку уявляємо функцію y = x n (де n беремо від 1 до 10) через полиномы Чебишева ( T n ), та був, щоб оцінити помилку, чебышевское розкладання знову перетворюємо в багаточлен. Виконавши ці операції, ми дуже незвичні результати. Для нечётных n помилка настільки мале, що її ледь можна розрізнити на графіках. Для чётных ж ступенів ми можемо простежувати зсув графіка, отриманого внаслідок перетворення, вниз щодо оригіналу. Це можна пояснити так. За усунення графіка несе відповідальність коефіцієнт перед x 0 . Пригадаємо алгоритми, їх побудовано отже кожен попередній коефіцієнт обчислюється через наступний. Через війну яка накопичується помилка обчислення найбільше впливає коефіцієнт при x 0 . Наслідком є усунення графіків чётных ступенів, позаяк у їх розкладанні присутній цей коефіцієнт. Можна відзначити також, що усунення при розкладанні функції y = x 2 більше, аніж за розкладанні функції y = x 10 . Цей теж легко пояснити, бо за збільшенні ступеня внесок T 0 в розкладанні статечної функції значно зменшується. Що буде, якщо торкнутися нечётных ступенів. Тоді ми матимемо таке хороше збіг, оскільки чётные коефіцієнти в розкладанні нечётных ступенів рівні 0, а коефіцієнти попри всі ступенях x , крім нульової, впливають лише з відхилення гілок. Підтвердженням цього служать графіки Наступним етапом роботи було наближення полиномами Чебишева довільній функції. Як початковій функції ми взяли функцію y = sin (4 x /3). Використовувана у роботі програма мала нижчеподаний алгоритм: Наближення функції f ( x ) по Чебышеву Задаём ступінь n багаточлена T n ( x ) і межі [ a ; b ] зміни аргументу функції f ( x ) Для і =0, 1, …, n на відрізку [-1; 1] формуємо сітку оптимальних значень аргументу в вузлах чебышевской інтерполяції: Переводим в відрізок [ a ; b ]: і обчислюємо f(x і ) Для k =0, 1, …, n і і =0, 1, …, n обчислюємо: У результаті дістаємо коефіцієнти a 0 , a 1 , …, a n багаточлена T ( ), приближающего функцію f ( x ) Вычисление значень T ( x ) виконується за таким алгоритмом: Вважаючи заданим масив a k ,що необхідно дати пам'ять під масив з n +2 допоміжних коефіцієнтів b k . Гадаємо b n +2 =0, b n +1 =0 Задаём значення x на [ a ; b ] і перекладаємо в відрізок [-1; 1] з допомогою перетворень: Для k = n , n -1, …, 1 обчислюємо b k = a k - b k +2 +2 xb k +1 Знаходимо T( )=a 0 /2 - b 2 +xb 1 Також у програмі використано розкладання до кількох Тейлора порівнювати з розкладанням по полиномам Чебишева. Насамперед, було розглянуто наближення на інтервалі [-1; 1]. Наложив на графік sin (4 x /3) графік його наближення полиномами Чебишева і графік, зведений будинок із допомогою розкладання до кількох Тейлора, отримуємо дуже точне збіг. Візуально неможливо розрізнити три кривих. Рассматриваем графік помилок. Відповідно до теорією помилка Чебишева знакопеременна і розподілено більш-менш рівномірно з усього інтервалу. Помилка ж Тейлора невеличка близько 0 і дуже збільшується з наближенням до 1 (зауважимо, у цьому та інших випадках ряд Тейлора містить самі ступеня x , але з іншими коефіцієнтами). Найбільш цікаво розглянути наближення більш довгих інтервалах. На інтервалі [-1; 1] наближення полиномами Чебишева сьомий міри досить хороше, але вже інтервалі [-10; 10] наближення тієї ж ступенем дуже погане. Розглянемо наближення цьому ж інтервалі полиномом вищого рівня ( T 11 ). Одержимо досить непогане наближення, причому на графіці дуже чітко видно, що помилка розподілено рівномірно. Тут знову хочеться порівняти з розкладанням до кількох Тейлора. Розглянувши графіки, побачимо, що наближення з допомогою рядів Тейлора дуже добре у середині інтервалу, однак має сильне відхилення від еталона на кінцях. Порівняємо помилки чебышевского наближення і наближення з допомогою рядів Тейлора. За такої порівнянні ясно виявляються властивості полиномов Чебишева — максимальна помилка менше, аніж за використанні низки Тейлора У результаті, ми маємо, що у великому інтервалі хороше наближення можна розбудувати лише, використовуючи досить великі ступеня. Насправді, важко уявити наближення кількох періодів синуса з допомогою полиномов 3-й, 4-й, 5-ї ступенів, і більше - неможливо 1-ї та ІІ-го ступеня Полиномы Чебишева дають чудове наближення функції тому, що максимальна помилка цього наближення дуже мала, але це наближення дуже складно обчислюються. Зазвичай відносно невелика зменшення помилки годі того праці, що необхідно витратити на перебування цього наближення. Саме тому полиномы Чебишева використовують із коригування розкладання до кількох Тейлора. Перебування виправлених коефіцієнтів нема неважко, тому його, званий економізацією статечного низки легко може застосовуватися для повсякденного програмування

ЙМОВІРНІСТЬ СЛУЧАЙНОГО ПОДІЇ

Будь-яка наука, що розвиває загальну теорію якогось кола явищ, містить низку базових основних понять. У геометрії – це поняття точки, прямий, лінії, в механіці - поняття сили, маси швидкості, прискорення. Природно, що не засадничі поняття може бути повністю визначено, бо "визначити" поняття - отже звести його решти, відомішим. Вочевидь, процес визначення одних понять через інші повинен десь кінчатися, дійшовши аж до первинних понять, яких зводяться й інші і який не визначаються, лише пояснюються. Такі поняття є і теоретично ймовірностей. Розглянемо окремі

Матриці

До основними арифметичними операціями над матрицями ставляться множення матриці на число, складання і множення матрицю Спочатку домовимося вважати матриці рівними, коли ці матриці мають однакові порядки і всі їх відповідні елементи збігаються